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那么这个线索是什么呢?就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布” (Levy’s stable distributions)。莱维是
芒德勃罗大约在1960年左右真正意识到非高斯型稳定分布的意义，从此他坚定信 念，不为外 界各种反对、批评所动，连续将这种思想应用于经济学、流体力学以及天文学。
在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想 象得出的好 性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了 人们对这种 完美分布的向往。维纳(Norbert Wiener,1894-1964)成功地发展了一套关于布朗 运动的漂亮数学理论。如今人们称布朗运动往往有两种含 义，一种指物理上实在的微粒运动 导致的宏观过程，另一种则指维纳的那些纯粹数学。实际上维纳在研 究布朗运动随机过程时所用到的分布只是高斯正态分布。
数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一 切物理现象 ，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里(甚至到现在仍然如此)，数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流 行观念是错 误的。
经济学中的“稳定分布”
现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文(也许会有几篇的出入)，主要涉及《 经济学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》、《交叉科 学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年刊》、《应用经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心 的经济问题 ——收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他对经济学中的帕累托(Vilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开 始了，然后在法国里尔 大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非 正统观点， 但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。
米罗夫基(Philip Mirowski)1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团 体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽 风头，经济 学家受“浑沌”(chaos)的影响,间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的 方面，也不 相信芒氏的理论。
芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律(Paretos law) 开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律( George Kingsley Zipf‘s law)。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具 有如下特点：
N=N_0x-b，
其中N_0是总人口数，x是收呻水平，N是收入不低于x的人口数，b为参数。芒德勃罗后 来将指数b解释 为分维数D。这个公式的含义是，收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。现在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者别的统计程序实际导出过这个公式， 他当时认定 收入分布对于人为干预是不变的。用概率的观点表示，此定律的形式为：
1-F(u)=Pr(U(t)＞u)～(u/u*)-α～Cu-α,
其中α称帕累托指数，一般介于(1，2)之间，有时也可以达到(4，5)之间。此式与上面 的公式是等价 的。芒德勃罗也称P(u)=Pr(U＞u)=Fu-D类型的分布为双曲分布 (hyperbolic distributions)。
直到芒德勃罗1960年左右开始将帕累托分布重新用于经济学，此分布在经济学界 几乎没什么 影响。他的论文《帕累托-莱维定律与收入分布》、《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》、《某些推断价格的差分》、《帕累托分布与收入最大化》、《统计经济学的新方法》等 发表后，经 济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。
芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾(fat tails) 现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这 样的“尾巴 ”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。
简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总 和(linear aggregation)后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过 程是稳定过 程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢? 这正是芒德勃罗急于思考的。实际上他的老师们已经解决了这个问题，莱维和弗雷歇(Maurice-Rene Frechet,1878－1973)细致地研究过类似问题，指出负幂律分布就是一种重要的稳定 分布(其中指数满足关系0＜b＜2)。芒氏1961年的文章《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》就是献给 综合工科学校的莱维教授的，而1962年的文章《帕累托分布与收入最大化》则是献给巴黎大学(Sorbonne)的弗雷歇教授的。在芒氏的文 章中，帕累 托分布也称帕累托-莱维分布。
芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅 凭这一点就 值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳(Boyle)的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类 型，一种简单 的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想 气体(perfect gas)模型没有价值一样，也不能说帕累托-莱维 分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看， 经济学界对他的反驳其实均不构成 威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题 的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹(Edward Lorenz,1917- )的《确定性非周期流》 一文(在非线 性科学史上具有重要地位)也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的 实际意义。 也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久 后就将莱维 稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。
以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特 定层次产生 价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价 格变化是随 机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把 不同层次统 一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了 它。但经济 学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。
在研究股票价格变化时，芒氏极力反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬 牛顿力学于 经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理 (scaling principle)。
设X(t)为价格，logX(t)是独立增量过程，即logX(t+d)-logX(t)具有独立于 d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首 先要面对的是 这种模型的奇怪性质(实际上这竟是他所期望的)。芒氏大胆地假设logX(t+d)-logX(t)具有“无穷方差”! 他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无 穷方差综合 症”。具有反叛色彩的芒氏假定V=∞自有他的考虑：“不用说，假定V=∞的成功后果是，我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”(第37章)于是后来提到的 “英国海岸 线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经 有了基本结 论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规 划，以一种 更直接、更通俗、更符合逻辑顺序(发现过程并不符合通常的逻辑)的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。
到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评价， 在此之前 克拉克(P.Clark)的博士论文以及后来的自回归条件异方差(ARCH)、广义自回归条件异方差( GARCH)模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一 个变化的二 阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均(ARIMA)的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法 (Grassberger-Procaccia两人提出的)求时间序列的分维数，用BDS统计(Brock -Dechert-Scheinkman三人在关联积分的基础上发明的)检查经济系统中是否存在非线性结 构。但是正如 米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥浑沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论 就是随机论 ”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者浑沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路，由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上 芒德勃罗采 用的是一种类似统计物理/热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。
当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么?他似乎高兴地带走了价格变动的自相 似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。布朗运动与莱维飞行
1785年荷兰医生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次报告了布朗运动， 他发现花粉颗粒在酒精溶液表面运动。但这种现象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)这个名字。布 朗1828年发 表了他的更细致的观察和研究。这种现象直到1905年，才由伟大的爱因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子运动论一举阐述清楚，布朗运动是由于流体分子热运动不 断撞击微小颗 粒造成的宏观现象。
实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股 票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼-柯尔莫哥洛夫链的方程，并 导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知， 它对后来布 朗运动的物理学没有产生直接影响。巴歇利研究的经济问题中没有摩擦、没有斯托克斯定律，也没有阿弗伽德罗(Amedeo Avogadro,1776-1856)常数。芒德勃罗在1977年出 版的专著《分 形：形、机遇与维数》中，特别以很多的篇幅描述了巴歇利的简历和研究成就，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的“古怪”东西，但用如此长的篇幅还 不多见。
爱因斯坦的著名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905 年发表在《 物理学杂志》。［３１］爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走(random walk)均方位移( mean squared displacement)随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子: λx=[KF(]2Dt[KF)]，用现在的符号表示则有〈x2(t)〉=2Dt。1908年这一结果立即被 佩兰用来测定阿 佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。
但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及 许多艰深的内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形却遇到了严重的困难：布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒 贝格的测度 理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，他抓住这个时机(大约于1921 年)，利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运 动。芒德勃罗 早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。
维纳开创的布朗运动数学，已成为概率论的一个经典范式(paradigm)。后来柯尔 莫哥洛夫 (A.N.Kolmogorov,1903-1987)于1931年奠定了概率论的基础，日本学者伊藤清(Ito) 又发展了维纳的理论 ，提出随机积分等概念。
1968年芒氏与尼斯(J.W.van Ness)合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分 数噪声及应用》，1969年与瓦利斯(J.R.Wallis)合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，19 71年发表论 文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。
其中σ2(t)=t2H，H的取值范围一般限制在(1，1/2)之间。当H=1/2时，正好对应 于布朗运动。这一推 广意味着随机行走的均方位移随t2H而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。
如果随机行走发生在分形体上(如逾渗(percolation)格子)，则运动行为不同于 一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成 两类，当H小 于1/2时，均方根位移慢于线性增长，当H大于1/2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。
布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走 者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机 变量，其概率分布为p(x)，具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N步的总和的分布仍然 具有与单步相似的(乘以一个标度因子)分布?这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步 高斯分布加起 来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。